题意分析

给定一个右键菜单的情况，每一个菜单内选项的数量，以及其子菜单的选项情况。合理的安排整个菜单展开的最大长度最小，输出这个最小值。

算法分析

题目中定义了菜单的元素：

• row: 表示一行选项

• section: 由至少一行row构成，其中row的顺序可以自由排列

• panel: 由至少一个section构成，其中section的顺序可以自由排列

由于构成panel的元素是固定的，所以一个panel的长度是固定的。所以影响其最大长度因素是该panel内每行row的子菜单长度。

当一行row所展开的子菜单超过该panel的长度时，就会导致整个菜单的总长度被拉长。如何合理的安排row的顺序，使得被拉长的程度最小也就成了解决这道题的关键。

我们从只有从简单的情况开始考虑。

panel只包含有1个section，section包含有 s 行row，记为R1..Rn，但是只有R1有子菜单，且长度为 r。

如果把R1放在第i行，则展开这个子菜单时的长度为 r+i-1 ，所以总的长度为 max( n , r+1-1 )。

因此得到我们的一个结论，有子菜单的row要尽可能往前放置。

panel只包含有1个section，section包含有 s 行row，记为R1..Rn，其中R1有长度为 r1 的子菜单，R2有长度为 r2 的子菜单，且 r1 ≥ r2。

如果把R1放在第i行，R2放在第j行。则展开R1这个子菜单时的长度为 r1+i-1，展开R2这个子菜单时的长度为 r2+j-1。

方案一：i<j，表示R1放在R2前面，此时无法判定 r1+i-1 与 r2+j-1 的大小关系；

方案二：i>j，表示R2放在R1前面，此时一定有 r1+i-1 > r2+j-1。

但是我们有 r1+i-1 ≥ max( r1+i-1 , r2+j-1 )，所以方案一一定不差于方案二。

由此得到我们第二个结论，当有多个包含子菜单的row时，要将子菜单长的尽可能放在前面。

panel只包含有2个section，记为S1,S2。

S1包含有 s1 行row，且展开这些row使得S1最少延伸到 sr1 行(即从S1的第 1 行开始计算，其展开的子菜单最长延伸到第 sr1 行)，令 ∆1 = sr1 - s1。举个例子：

+-----------+
| other sec |
+-----------+                 -   -
|   S1 r1   |                 ^   ^
+-----------+-----------+     |   |
|   S1 r2  >|           |     |   s1
+-----------+-----------+     |   |
|   S1 r3   |           |    sr1  v
+-----------+-----------+     |   -
| other sec |           |     |   |
+-----------+-----------+     |   ∆1
            |           |     v   |
            +-----------+     -   -

S2包含有 s2 行row，且展开这些row使得S2最少延伸到 sr2 行，令 ∆2 = sr2 - s2。

显然有 sr1 ≥ s1, sr2 ≥ s2。

对于S1和S2来说 s1，_s2_ 是它们的固有长度，它们对总长度的影响，是由 ∆1 和 ∆2 决定的。不妨假设 ∆1 ≥ ∆2。

方案一：S1放在前面，S2放在后面。此时若将S1展开，会使得总长度增加 ∆1-s2；展开S2，会使得总长度增加 ∆2。无法判定 ∆1-s2 与 ∆2 的大小关系。

方案二：S2放在前面，S1放在后面。此时若将S1展开，会使得总长度增加 ∆1；展开S2，会使得总长度增加 ∆2-s1。因为 ∆1 ≥ ∆2 > ∆2-s1 ，所以结果为 ∆1。

可以知道一定有 ∆1 > ∆1-s2, ∆1 ≥ ∆2。因此方案一一定不差于方案二。

由此可以得到我们第三个结论，当有多个section时，我们需要将 ∆ 大的尽可能放在前面。

其中三个结论中，第二个结论实际上包含了第一个结论。而若将row看做只有1行row的section，第二结论其实也和第三个结论等价。所以得到精简的结论：

对于row和section，我们要将子菜单长度与本体长度差值大的靠前放置。

由此我们可以得到对于panel的处理方法：

1. row：递归处理出每一个row的子菜单长度。

2. section: 将section内的row进行排序，得到section的最优长度方案，记录其本体长度和子菜单长度。

3. panel：将panel内的section进行排序，得到panel的最优长度。

接下来我们来讨论一下具体的实现。

首先可以肯定的是树形结构，下面以C++的代码为例子，我们对三种元素分别建立结构体：

struct row {
    int childId;          // 子菜单指针
    int expandLength;     // 子菜单长度 
    row():childId(-1),expandLength(0) {};
    row(int _id):childId(_id),expandLength(0) {};
};

struct section {
    vector< row > rows;   // 包含的row情况
    int selfLength;       // 自身的长度 s1
    int expandLength;     // 展开子菜单之后的长度 sr1
    int delta;            // 子菜单之后的长度与自身的差值 ∆
    section():selfLength(0),expandLength(0),delta(0) {};
};

struct panel {
    vector< section > sections; // 包含的section情况
    vector< int > rowIds;       // 读入时该panel内的rowId
};

读入数据时，我们先将所有row都读入：

panel panels[ MAXN ];

// 读入每一个panel的情况
int n;
cin >> n;
int id, numOfIds;
for (int i = 0; i <= n; ++i) {
    cin >> numOfIds;
    while (numOfIds--) {
        cin >> id;
        if (id == 0) ++numOfIds;
        panels[i].rowIds.push_back(id);
    }
    dealPanel( panels[i] );    // 处理panel的情况
}

其中dealPanel函数为：

void dealPanel(panel &p) {
    if ( (int) p.rowIds.size() == 0 ) return ;

    p.sections.push_back(section());
    int sectionId = 0;

    // 加入一个末尾0，方便处理最后一个section
    p.rowIds.push_back(0);

    // 依次出每一个section
    for (int i = 0; i != (int) p.rowIds.size(); ++i)
        if (p.rowIds[i] != 0) {
            p.sections[ sectionId ].rows.push_back( row(p.rowIds[i]) );
        }   else {
            // 新的section
            p.sections.push_back(section());
            sectionId++;
        }
    return ;
}

根据我们的上面总结的处理方法，我们可以写出对panel的处理函数：

bool sortByExpandLength(row x, row y) {
    return x.expandLength > y.expandLength;
}

bool sortByDelta(section x, section y) {
    return x.delta > y.delta;
}

int getExpandLength(panel &p)
{

    // ret初始化为0，ret表示该panel的最小展开长度
    int ret = 0;

    // 枚举每一个section
    for (int i = 0; i != (int) p.sections.size(); ++i)
    {

        // 处理该section内的每一个row的子菜单
        for (int j = 0; j != (int) p.sections[i].rows.size(); ++j)
            p.sections[i].rows[j].expandLength = getExpandLength( panels[ p.sections[i].rows[j].childId ] );

        // 根据row的expandLength对section内的row进行排序
        sort(p.sections[i].rows.begin(), p.sections[i].rows.end(), sortByExpandLength);

        // 处理得到section的值
        p.sections[i].selfLength = (int) p.sections[i].rows.size();
        p.sections[i].expandLength = p.sections[i].selfLength; // 展开值至少为selfLength

        // 枚举每一个row，找到展开值最大的作为section的展开值
        for (int j = 0; j != (int) p.sections[i].rows.size(); ++j)
            if (p.sections[i].expandLength < j + p.sections[i].rows[j].expandLength)
                p.sections[i].expandLength = j + p.sections[i].rows[j].expandLength;

        // 计算section的∆值
        p.sections[i].delta = p.sections[i].expandLength - p.sections[i].selfLength;

        // 累加panel内所有的row行数作为最小的ret
        ret += p.sections[i].selfLength;
    }

    // 根据section的∆值进行排序
    sort(p.sections.begin(), p.sections.end(), sortByDelta);

    // now记录当前section的起始行数
    int now = 0;

    // 枚举每一个section，找到展开值最大的作为panel的展开值
    for (int i = 0; i != (int) p.sections.size(); ++i)
    {
        if (ret < now + p.sections[i].expandLength)
            ret = now + p.sections[i].expandLength;

        // 累加为下一个section的起始行数
        now += p.sections[i].selfLength;
    }

    return ret;
}

最后我们的答案只需要：

cout << getExpandLength( panels[0] ) << endl;

该段代码还可以以进一步优化，将其中的dealPanel和getExpandLength还可以再合并为一个函数的。

结果分析

本题的通过人数只有3人，提交人数也只有39人。

本题的思维比较巧妙，由于本场比赛总共只有2个小时，大多数选手并没有足够的时间来思考这道题目，可能是导致该题通过率较低的主要原因。